1. Espaços vetoriais

1.1. Referências

• Notas de aula Capítulo 1: Estruturas Fundamentais

• Calliolli 2.1 – 2.3

• Boldrini 4.1 – 4.2

• Hoffman 1.1 (Axiomas de Corpo)

• Hoffman 2.1 (Espaços vetoriais)

• Apostol Vol. I 3.1 – 3.3 (Axiomas de Corpo)

• Lay 4.1

• Strang 3.1

1.2. Corpos

1.2.1. Definição

Um corpo é um conjunto \(\mathbb{K}\) associado a duas operações: adição e multiplicação, que obedecem aos seguintes axiomas:

Fechamento por adição

A adição entre dois elementos \(\alpha\) e \(\beta\) quaisquer de \(\mathbb{K}\) resulta em um único elemento de \(\mathbb{K}\), denotado por \(\alpha + \beta\) e chamado de soma de \(\alpha\) e \(\beta\)

Nota

O nome adição é apenas isso: um nome. No caso dos conjuntos numéricos como os reais e os racionais, a adição usual é a operação aqui, mas a “adição” pode ser qualquer operação que satisfaça essas condições (veremos um exemplo em breve!)

Fechamento por multiplicação

A multiplicação entre dois elementos \(\alpha\) e \(\beta\) quaisquer de \(\mathbb{K}\) resulta em um emph{único} elemento de \(\mathbb{K}\), denotado por \(\alpha \cdot \beta\) ou \(\alpha \beta\) e chamado de produto de \(\alpha\) e \(\beta\)

Nota

O nome multiplicação é apenas isso: um nome. No caso dos conjuntos numéricos como os reais e os racionais, a multiplicação usual é a operação aqui, mas a “multiplicação” pode ser qualquer operação que satisfaça essas condições (veremos um exemplo em breve!)

Comutatividade da adição

\(\alpha + \beta = \beta + \alpha\)

Comutatividade da multiplicação

\(\alpha \beta = \beta \alpha\)

Associatividade da adição

\(\alpha + (\beta + \gamma) = (\alpha + \beta) + \gamma\)

Associatividade da multiplicação

\(\alpha (\beta\gamma) = (\alpha \beta) \gamma\)

Distributividade

\(\alpha(\beta + \gamma) = \alpha \beta + \alpha \gamma\)

Existência da identidade da adição

Existe um elemento em \(\mathbb{K}\), denotado por \(0\) e chamado de nulo ou elemento neutro da adição tal que \(\alpha + 0 = \alpha\) para todo \(\alpha \in \mathbb{K}\).

Existência da identidade da multiplicação

Existe um elemento em \(\mathbb{K}\), diferente de \(0\), denotado por \(1\) e chamado de unidade ou elemento neutro da multiplicação tal que \(1 \cdot \alpha = \alpha\) para todo \(\alpha \in \mathbb{K}\).

Existência do oposto

Para cada elemento \(\alpha \in \mathbb{K}\) existe um elemento, chamado oposto de \(\alpha\) e denotado por \((-\alpha)\), tal que \(\alpha + (-\alpha) = 0\).

Nota

O fato de o oposto ser único para cada elemento permite que se defina a operação de subtração: \(\alpha - \beta = \alpha + (-\beta)\).

Aviso

O símbolo de “menos” em \((-\alpha)\) significa literalmente o oposto de \(\alpha\). A ideia que \(-\alpha = -1 \alpha\) é consequência deste axioma e do anterior.

Existência do recíproco

Para cada elemento \(\alpha \in \mathbb{K}\), \(\alpha \neq 0\), existe um elemento, chamado recíproco de \(\alpha\) e denotado por \(\alpha^{-1}\) ou \(\frac{1}{\alpha}\), tal que \(\alpha \cdot \alpha^{-1} = 1\).

Nota

O fato de o recíproco ser único para cada elemento permite que se defina a operação de divisão: \(\dfrac{\alpha}{\beta} = \alpha \beta^{-1}\).

1.2.2. Teste dos axiomas

Para demonstrar que um conjunto, dotado de duas operações, é um corpo, é necessário testar cada um dos 11 axiomas acima, efetuando as operações e verificando se há casos em que algum axioma não seja cumprido. Se não houver esses casos, trata-se de um corpo.

1.2.3. Exemplos de corpos

• Números racionais: \(\mathbb{Q}\)

• Números reais: \(\mathbb{R}\)

• Números complexos: \(\mathbb{C}\)

• Lógica booleana (Verdadeiro e Falso). Este é um caso em que as operações de “adição” e “multiplicação” não são as usuais, até porque os elementos do conjunto não são números!

  Adição

  Operação OU exclusivo (XOR):

  • \(V + V = F\)

  • \(V + F = V\)

  • \(F + V = V\)

  • \(F + F = F\)

  Multiplicação

  Operação E (AND):

  • \(V \times V = V\)

  • \(V \times F = F\)

  • \(F \times V = F\)

  • \(F \times F = F\)

1.3. Espaços Vetoriais

1.3.1. Definição

Um conjunto não-vazio \(V\), associado a uma operação binária de adição e uma multiplicação por escalares, é um espaço vetorial sobre o corpo \(\mathbb{K}\) se, e somente se, obedecer aos seguintes axiomas (sejam \(\alpha, \beta \in \mathbb{K}\) os escalares e \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V\) os vetores):

Fechamento por adição

A adição entre dois elementos \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) quaisquer de \(V\) resulta em um único elemento de \(V\), denotado por \(\vec{u} + \vec{v}\) e chamado de somaindex{soma} de \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\).

Fechamento por multiplicação por escalar

A multiplicação entre um elemento \(\alpha \in \mathbb{K}\), denominado escalar, e um elemento \(\vec{u} \in V\) resulta em um único elemento de \(V\), denotado por \(\alpha \cdot \vec{u}\) (ou \(\alpha \vec{u}\)), chamado produto de \(\alpha\) e \(\vec{u}\).

Comutatividade da adição

\(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\)

Associatividade da adição

\(\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}\)

Existência da identidade da adição

Existe um elemento em \(V\), denotado por \(\mathbb{0}\) e chamado de vetor nulo tal que \(\vec{u} + \mathbb{0} = \vec{u}\) para todo \(\vec{u} \in V\).

Existência do oposto

Para cada elemento \(\vec{u} \in V\) existe um elemento, chamado oposto de \(\vec{u}\) e denotado por \((-\vec{u})\), tal que \(\vec{u} + (-\vec{u}) = \mathbb{0}\).

Nota

O fato de o oposto ser único para cada elemento permite que se defina a operação de subtração: \(\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})\).

Aviso

O símbolo de “menos” em \((-\vec{u})\) significa literalmente o oposto de \(\vec{u}\). A ideia que \(-\vec{u} = -1 \vec{u}\) é consequência deste axioma e do último.

Associatividade da multiplicação por escalares

\(\alpha (\beta\vec{u}) = (\alpha \beta) \vec{u}\)

Distributividade da soma de escalares

\((\alpha + \beta) \vec{u} = \alpha \vec{u} + \beta\vec{u}\)

Distributividade da soma de vetores

\(\alpha (\vec{u} + \vec{v}) = \alpha \vec{u} + \alpha\vec{v}\)

Unidade

\(1 \cdot \vec{u} = \vec{u}\), onde \(1\) é a unidade do corpo \(\mathbb{K}\).

1.3.2. Teste dos axiomas

Para demonstrar que um conjunto, dotado de duas operações, é um espaço vetorial sobre um corpo dado, é necessário testar cada um dos 10 axiomas acima, efetuando as operações e verificando se há casos em que algum axioma não seja cumprido. Se não houver esses casos, trata-se de um espaço vetorial.

1.3.3. Exemplos de espaços vetoriais

• n -uplas de números reais: \(\mathbb{R}^n\)

• n -uplas de números complexos: \(\mathbb{C}^n\)

• Matrizes \(n\times n\) de números reais: \(\boldsymbol{M}_{m \times n}(\mathbb{R}\)

• Polinômios reais de grau \(\leqslant n\): \(\boldsymbol{P}_n (\mathbb{R})\)

1.3.4. Videoaula

IMPA — Programa de Iniciação Científica: Introdução à Álgebra Linear — Aula 01 até 1h05min

1.3.5. Videoaula de exemplo

1.4. Exercícios

1. Verifique quais axiomas de corpo não são cumpridos pelos números inteiros \(\mathbb{Z}\).

2. Mostre que o conjunto \(\mathbb{R}^2\), das duplas \((x,y)\) de números reais, obedece a todos os 10 axiomas de espaço vetorial com as operações usuais

   Adição

   \((x,y) + (a, b) = (x + a, y + b)\)

Multiplicação por escalar

\(\alpha (x,y) = (\alpha x, \alpha y)\)

1.5. Lista de exercícios

• Lista da Aula 01

1.6. Material suplementar

1.6.1. Videoaulas

Engenharia UNIVESP — Aula 12 - Espaços Vetoriais Reais e Subespaços

IMPA — Programa de Iniciação Científica: Introdução à Álgebra Linear — Aula 01

Engenharia UNIVESP — Aula 09 - Espaços Vetoriais

Licenciatura em Matemática UNIVESP — Aula 05 - Vetores e espaço vetorial

1.6.2. Video complementar

Essence of Linear Algebra — Vetores, o que são eles afinal?

Legendas em português disponíveis.

Socratica: Abstract Algebra: Field Definition (expanded)

Socratica: Abstract Algebra: Field Examples: Infinite fields

Socratica: Abstract Algebra: What is a vector space?