11. Transformações e aplicações

11.1. Referências

  • Callioli 4.1

11.2. Transformações e mapas

  • Transformações, aplicações

  • Domínio

  • Imagem

  • Transformações sobrejetoras, bijetoras

  • Mapas e operadores

  • Aplicação/transformação inversa

11.2.1. Resumo

Sejam \(V\) e \(W\) espaços vetoriais. Uma transformação, aplicação ou mapa \(F:V \to W\) é uma regra que associa a cada vetor \(\vec{v} \in V\) a um único vetor de \(W\), que será notado como \(F(\vec{v})\) e chamado de imagem de \(\vec{v}\) por \(F\).

  • \(V\) é o domínio de \(F\), notado como \(D(F)\)

  • \(W\) é o contradomínio de \(F\), notado como \(CD(F)\)

  • Se \(S\) é um subconjunto do domínio \(W\), chamamos \(F(S)\) de imagem de \(S\) por \(F\), o subconjunto do contradomínio dado por \(F(S) = \left\{F(\vec{v})\middle\vert\vec{v} \in S\right\}\), ou seja, o conjunto das imagens de cada vetor \(\vec{v}\) de \(S\).

  • O conjunto de todos os vetores de \(W\) que são imagem de algum \(\vec{v} \in V\) por \(F\) é chamado simplesmente de imagem de \(F\) e é notado como \(\operatorname{Im}(F)\). Note que \(\operatorname{Im}(F) = F(V)\).

11.2.2. Videoaula

11.2.3. Exemplo

11.2.4. Exercício

  1. Considere a transformação \(F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\) dada por \(F(x,y) = (x, x+y, y^2)\). Sejam \(\vec{u} = (1, -1)\), \(\vec{v} = (0, 2)\) vetores de \(\mathbb{R}^2\) e \(\lambda = -2\) um escalar real. Calcule:

    1. \(F(\vec{u})\)

    2. \(F(\vec{v})\)

    3. \(F(\vec{u} + \vec{v})\)

    4. \(F(\vec{u}) + F(\vec{v})\)

    5. \(F(\lambda \vec{u})\)

    6. \(\lambda F(\vec{u})\)

  2. Considere a transformação \(G: \mathbb{R}^3 \to P_2(\mathbb{R})\) dada por \(G(x,y,z) = (x+y) + z t + xzt^2\). Sejam \(\vec{u} = (1, -1, 2)\), \(\vec{v} = (0, 2, -1)\) vetores de \(\mathbb{R}^3\) e \(\lambda = 3\) um escalar real. Calcule:

    1. \(G(\vec{u})\)

    2. \(G(\vec{v})\)

    3. \(G(\vec{u} + \vec{v})\)

    4. \(G(\vec{u}) + G(\vec{v})\)

    5. \(G(\lambda \vec{u})\)

    6. \(\lambda G(\vec{u})\)

11.3. Transformações Sobrejetoras, Injetoras, Bijetoras

11.3.1. Resumo

Seja uma transformação \(F: V \to W\).

Sobrejetora

\(F\) será uma transformação sobrejetora se e somente se todo vetor \(\vec{w} \in W\) estiver em \(\operatorname{Im}(F)\). Ou seja, se para todo \(\vec{w} \in W\) existe \(\vec{v} \in V\) tal que \(F(\vec{v}) = \vec{w}\).

Injetora

\(F\) será uma transformação injetora se e somente se levar vetores distintos de \(V\) a vetores distintos de \(W\). Isso pode ser descrito de duas formas:

\[F(\vec{v}_1) = F(\vec{v}_2) \Rightarrow \vec{v}_1 = \vec{v}_2\]

ou

\[\vec{v}_1 \neq \vec{v}_2 \Rightarrow F(\vec{v}_1) \neq F(\vec{v}_2)\]
Bijetora

\(F\) será uma transformação bijetora se e somente se for, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora.

11.3.2. Videoaula

11.3.3. Exemplo

11.4. Lista de exercícios

11.5. Respostas dos exercícios

    1. \(F(\vec{u}) = F(1, -1) = (1, 1+ (-1), (-1)^2) = (1, 0,1)\)

    2. \(F(\vec{v}) = F(0,2) = (0, 0+2, 2^2) = (0, 2, 4)\)

    3. \(F(\vec{u} + \vec{v}) = F((1,-1) + (0,2)) = F(1, 1) = (1, 1+1, 1^2) = (1, 2, 1)\)

    4. \(F(\vec{u}) + F(\vec{v}) = F(1, -1) + F(0, 2) = (1, 0,1) + (0, 2, 4) = (1, 2, 5)\)

    5. \(F(\lambda \vec{u}) = F(-2(1, -1)) = F(-2, 2) = (-2, 0, 4)\)

    6. \(\lambda F(\vec{u}) = -2 F(1, -1) = -2 (1, 0, 1) = (-2, 0, -2)\)

    1. \(G(\vec{u}) = G(1, -1, 2) = (1 + (-1)) + 2 t + (1)(2)t^2 = 2t + 2t^2\)

    2. \(G(\vec{v}) = G(0, 2, -1) = (0 + 2) + (-1) t + (0)(-1)t^2 = 2 - t\)

    3. \(G(\vec{u} + \vec{v}) = G((1, -1, 2) + (0, 2, -1)) = G(1, 1, 1) = (1+1) + 1 t + (1) (1) t = 2 + t + t^2\)

    4. \(G(\vec{u}) + G(\vec{v}) = G(1, -1, 2) + G(0, 2, -1) = (2t + 2t^2) + (2, -t) = 2 + t + 2t^2\)

    5. \(G(\lambda \vec{u}) = G(3(1, -1, 2)) = G(3, -3, 6) = (3 - 3) + 6t + (3)(6) t^2 = 6t + 18t^2\)

    6. \(\lambda G(\vec{u}) = 3 G(1, -1, 2) = 3 (2t+ 2t^2) = 6t + 6t^2\)