7. Produto Interno

7.1. Referências

  • Callioli 6.1, 6.6

  • Boldrini 8.1, 8.6

  • Lay 6.1

7.2. Definição de produto interno

7.2.1. Visão geral

Um produto interno é uma operação que leva um par ordenado de vetores \((\vec{u}, \vec{v})\) a um escalar (real ou complexo), denotado por \(\left\langle\vec{u},\vec{v}\right\rangle\) e que obedece aos seguintes axiomas:

  1. \(\left\langle\vec{u},\vec{v}\right\rangle = \left\langle\vec{v},\vec{u}\right\rangle\)

  2. \(\left\langle\vec{u},\vec{v} + \vec{w}\right\rangle = \left\langle\vec{u},\vec{v}\right\rangle + \left\langle\vec{u},\vec{w}\right\rangle\)

  3. \(\left\langle\vec{u},\alpha\vec{v}\right\rangle = \alpha\left\langle\vec{u},\vec{v}\right\rangle\)

  4. \(\left\langle\vec{u},\vec{u}\right\rangle \geqslant 0\), sendo que \(\left\langle\vec{u},\vec{u}\right\rangle = 0 \Leftrightarrow \vec{u} = \vec{0}\)

Se o espaço vetorial é construído sobre o corpo dos complexos, a primeira propriedade fica

  1. \(\left\langle\vec{u},\vec{v}\right\rangle = \overline{\left\langle\vec{v},\vec{u}\right\rangle}\)

Com \(\overline{z} = a-bi\) o complexo conjugado de \(z = a+bi\).

7.2.2. Videoaula

7.2.3. Exercício

  1. Verifique que o produto interno usual sobre o \(\mathbb{C}^n\) dado por \(\left\langle\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\right\rangle = \sum_{i=1}^{n} \overline{u_i}v_i\) satisfaz os axiomas de produto interno.

7.3. Lista de exercícios

7.4. Material suplementar

7.4.1. Videoaulas

UNIVESP — Licenciatura em Matemática — Álgebra Linear - Aula 13 - Espaços vetoriais com produtos internos
UNIVESP — Engenharia — Geometria Analítica e Álgebra Linear - Aula 17 - Produto Interno e Ortogonalidade
Álgebra Linear Cabral & Goldfeld — 05-01 Produto Interno (Norma, Distância, Ângulo)

7.5. Resposta do exercício

Na aula síncrona.