14. Álgebra de transformações Lineares

14.1. Referências

  • Callioli 5.1

14.2. Operações com transformações lineares

  • Adição de transformações lineares

  • Multiplicação de transformações lineares por escalar

  • Espaço vetorial de transformações lineares

14.2.1. Resumo

Sejam \(V, W\) espaços vetoriais sobre o corpo \(\mathbb{K}\), e \(F, G\) transformações lineares de \(V\) em \(W\).

  • O conjunto \(L(V, W)\) das transformações lineares de \(V\) em \(W\) é um espaço vetorial sobre o corpo \(\mathbb{K}\) com as seguintes operações:

    • A adição de transformações lineares é definida como

      \[(F+G)(\vec{u}) = F(\vec{u}) + G(\vec{u})\]

    • A multiplicação da transformação linear por um escalar é definida como

      \[(\lambda F)(\vec{u}) = \lambda F(\vec{u})\]

      com \(\vec{u} \in V\) e \(\lambda \in \mathbb{K}\).

  • Tanto \(F+G\) quanto \(\lambda F\) são transformações lineares de \(V\) em \(W\).

14.2.2. Videoaula

Em breve…

14.2.3. Exemplo

14.2.4. Exercício

  1. Considere as transformações lineares \(F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) e \(F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) dadas por

    \[\begin{split}\begin{aligned} F(x, y, z) &= (2x, y + z) \\ G(x, y, z) &= (x -z, y) \end{aligned}\end{split}\]

    1. Calcule \((F+G)(\boldsymbol{v})\), com \(\boldsymbol{v} = (2, 3, 4)\)

    2. Calcule \((3F)(\boldsymbol{v})\), com \(\boldsymbol{v} = (2, 3, 4)\)

    3. Calcule \((2F - 5G)(\boldsymbol{u})\), com \(\boldsymbol{u} = (5, 1, 3)\)

    4. Obtenha uma expressão para a transformação \(F + G\)

    5. Obtenha uma expressão para a transformação \(3F\)

    6. Obtenha uma expressão para a transformação \(2F - 5G\)

14.3. Composição de transformações lineares

  • Operação de composição de transformações lineares

  • Composição de transformações lineares como multiplicação

  • Operadores lineares

  • Potenciação de operadores

  • Operadores idempotentes

  • Operadores nilpotentes

14.3.1. Resumo

Sejam U, V, W espaços vetoriais sobre o corpo \(\mathbb{K}\) e \(F: U \to V\) e \(G: V \to W\) transformações lineares.

  • A transformação composta \(GF\) dada por \((GF)(\vec{u}) = G(F(\vec{u}))\) é uma transformação linear de \(U\) em \(W\).

  • A composta \(GF\) também é notada por \(G \circ F\).

Chamamos de operador linear uma transformação linear \(F:V \to V\) que leva vetores do espaço \(V\) a vetores do mesmo espaço vetorial.

  • \(L(V)\) é o espaço vetorial dos operadores lineares de \(V\)

  • A composição de operadores lineares funciona como uma multiplicação com as seguintes propriedades: [Sejam \(F, G, H \in L(V)\) e \(\lambda \in \mathbb{K}\)]

    Associativa

    \((HG)F = H(GF)\)

    Identidade

    Existe o operador \(I \in L(V)\) tal que \(IF = FI = F\)

    Associatividade da adição

    • \(H(F + G) = HF + HG\)

    • \((F+G) H = FH + GH\)

    Associatividade da multiplicação por escalar

    \(\lambda(GF) = (\lambda G)F = G(\lambda F)\)

14.3.2. Videoaula

Em breve…

14.3.3. Exemplo

14.3.4. Exercício

  1. Considere as transformações \(F\) e \(G\) do Exercício 1 e a transformação \(H:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) dada por

    \[H(x, y) = (y, x)\]

    1. Calcule \((H \circ F)(\boldsymbol{v})\), com \(\boldsymbol{v} = (2, 3, 4)\)

    2. Calcule \((H \circ G)(\boldsymbol{v})\), com \(\boldsymbol{v} = (2, 3, 4)\)

    3. Obtenha uma expressão para a transformação \(H \circ F\)

    4. Obtenha uma expressão para a transformação \(H \circ G\)

    5. Obtenha uma expressão para a transformação \(H + F\)

    6. Obtenha uma expressão para a transformação \(F \circ H\)

14.4. Lista de exercícios

14.5. Material suplementar

14.5.1. Videoaulas

IMPA — Programa de Iniciação Científica: Introdução à Álgebra Linear - Aula 04

14.6. Respostas dos exercícios

    1. \((F+G)(\boldsymbol{v}) = F(2, 3, 4) + G(2, 3, 4) = (2, 10)\)

    2. \((3F)(\boldsymbol{v}) = 3 F(2, 3, 4) = (12, 21)\)

    3. \((2F - 5G)(\boldsymbol{u}) = 2 F(5, 1, 3) - 5 G(5, 1, 3) = (10, 3)\)

    4. \((F+G)(x, y, z) = F(x, y, z) + G(x, y, z) = (2x - z, 2y + z)\)

    5. \((3F)(x, y, z) = 3 F(x, y, z) = (6x, 3y + 3z)\)

    6. \((2F - 5G)(x, y, z) = 2 F(x, y, z) - 5 G(x, y, z) = (-x + 5z, -3y + 2z)\)

    1. \((H \circ F)(\boldsymbol{v}) = H(F(2, 3, 4)) = (7, 4)\)

    2. \((H \circ G)(\boldsymbol{v}) = H(G(2, 3, 4)) = (3, -2)\)

    3. \((H \circ F)(x, y, z) = H(F(x, y, z)) = (y+z, 2x)\)

    4. \((H \circ G)(x, y, z) = H(G(x, y, z)) = (y, x-z)\)

    5. A transformação \(F + H\) não está definida, já que os domínios de \(F\) e \(H\) são diferentes.

    6. A transformação \(F \circ H\) não está definida, já que o contradomínio de \(H\) é diferente do domínio de \(F\) são diferentes.