20. Diagonalização

20.1. Referências

Callioli Parte 2: 1.2

Boldrini 7.1

Um operador \(T:V\to V\) é diagonalizável se e somente se existe uma base de \(V\) formada por autovetores de \(T\)
A matriz de \(T\) numa base formada por seus autovetores \(A = \{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n\}\) associados respectivamente aos autovalores \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n\) será diagonal e os elementos serão os autovalores, na ordem:

\[\begin{split}\begin{bmatrix}T\end{bmatrix}_A = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{bmatrix}\end{split}\]

Na videoaula acima.

Considere o operador \(F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) dado por \(F(x,y) = (x+3y, 2x - 4y)\).
1. Escreva a matriz do operador \(F\) na base canônica.
2. Obtenha os autovalores e autovetores de \(F\)
3. O operador \(F\) é diagonalizável? Se sim, escreva a matriz diagonal \(D\) e a matriz de mudança de base \(P\), de forma que a matriz diagonal seja \(D = P^{-1} \left[F\right] P\).
Considere o operador \(G:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) dado por \(F(x,y) = (5x+y, -x +3 y)\).
1. Escreva a matriz do operador \(G\) na base canônica.
2. Obtenha os autovalores e autovetores de \(G\)
3. O operador \(G\) é diagonalizável? Se sim, escreva a matriz diagonal \(D\) e a matriz de mudança de base \(P\), de forma que a matriz diagonal seja \(D = P^{-1} \left[G\right] P\).

Geometria Analítica e Álgebra Linear - Aula 22 - Diagonalização
Engenharia UNIVESP — Geometria Analítica e Álgebra Linear - Aula 19 - Diagonalização
Licenciatura UNIVESP — Álgebra Linear - Aula 11 - Autovalores e Autovetores

1. \(\left[F\right] = \begin{bmatrix}1&3\\2 & -4\end{bmatrix}\)
2. \(\vec{v}_1 = (1, -2)\) com autovalor \(\lambda_1 = 5\) e \(\vec{v}_2 = (3, 1)\) com autovalor \(\lambda_1 = 2\)
3. É diagonalizável:
  
  \[\begin{split}\begin{aligned} D & = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} & P & = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}\]
1. \(\left[G\right] = \begin{bmatrix}5&-1\\1 & 3\end{bmatrix}\)
2. \(\vec{v} = (1, 1)\) com autovalor \(\lambda = 4\)
3. Não é diagonalizável, já que há apenas um vetor no conjunto de autovetores L.I. de \(G\)