18. Operadores Auto-Adjuntos e Hermitianos

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18.1. Bibliografia

  • Callioli 6.4 ― 6.6

  • Boldrini 9.1 — 9.2

18.2. Operadores auto-adjuntos

Considere um espaço vetorial \(V\) sobre os \(\mathbb{R}\) dotado de produto interno. Seja \(B\) uma base ortonormal desse espaço.

18.2.1. Definição

O operador linear \(T \in L(V)\) é um operador auto-adjunto se sua matriz \(\left[T\right]_B\), em relação à base ortogonal \(B\), é uma matriz simétrica.

Dica

Uma matriz \(A\) é simétrica se for igual à sua transposta \(A^T\).

Nota

Caso \(V\) seja um espaço vetorial complexo dotado de produto interno, o operador \(T\) será auto-adjunto se sua matriz for hermitiana. Uma matriz \(A\) é hermitiana se for igual a \(A^\dagger = \left(\bar{A}\right)^T\), ou seja, sua conjugada transposta.

18.2.2. Propriedades

  • Se \(T\) é um operador auto-adjunto, então vale \(\left\langle T(\vec{v}), \vec{w}\right\rangle = \left\langle \vec{v}, T(\vec{w})\right\rangle\) para quaisquer vetores \(\vec{v}\) e \(\vec{w}\) de \(V\).

  • Se \(T\) é um operador auto-adjunto, então sua matriz será simétrica (ou hermitiana no caso complexo) em qualquer base ortonormal.

18.3. Operadores ortogonais

Considere um espaço vetorial \(V\) sobre os \(\mathbb{R}\) dotado de produto interno. Seja \(B\) uma base ortonormal desse espaço.

18.3.1. Matrizes ortogonais

Se a inversa de uma matriz real \(A\) for igual à sua transposta \(A^T\), é chamada de matriz ortogonal:

\[\begin{split}\begin{aligned} A^T &= A^{-1} \\ A A^T &= A A^{-1}\\ A A^T &= \mathbb{I} \end{aligned}\end{split}\]

Nota

Para testar se uma matriz real é ortogonal, é menos trabalhoso multiplicar pela transposta e verificar se o produto é a identidade do que tentar inverter a matriz e comparar com a transposta. São menos operações no primeiro caso.

Se a inversa de uma matriz complexa \(A\) for igual à sua hermitiana conjugada \(A^\dagger\), é chamada de matriz unitária:

\[\begin{split}\begin{aligned} A^\dagger &= A^{-1} \\ A A^\dagger &= A A^{-1} \\ A A^\dagger &= \mathbb{I} \end{aligned}\end{split}\]

18.3.2. Definição

O operador linear \(T \in L(V)\) é um operador ortogonal se sua matriz \(\left[T\right]_B\), em relação à base ortogonal \(B\), é uma matriz ortogonal. No caso complexo, a matriz deve ser unitária.

18.3.3. Propriedades

  • Se \(A\) é uma matriz ortogonal, suas colunas formam um conjunto ortonormal de vetores. O mesmo vale para as linhas

  • Toda matriz ortogonal/unitária é inversível.

  • Se \(A\) é ortogonal/unitária, \(\det(A) = \pm 1\)

  • A matriz mudança de base \(\left[\mathbb{I}\right]^B_C\), entre duas bases ortonormais \(B\) e \(C\) de \(V\), será ortogonal.

    Nota

    Nesse caso, conhecida \(\left[\mathbb{I}\right]^B_C\), a mudança inversa, \(\left[\mathbb{I}\right]^C_B = \left(\left[\mathbb{I}\right]^B_C\right)^{-1}\), é trivial de se calcular: basta transpor a matriz original!

  • Todo operador ortogonal/unitário leva uma base ortonormal de \(V\) a outra base ortonormal.

  • Todo operador \(T\) ortogonal é uma isometria e não altera a norma dos vetores:

    \[\left\Vert T(\vec{v})\right\Vert = \left\Vert \vec{v} \right\Vert\]

  • Todo operador ortogonal é um isomorfismo, ou seja, uma transformação bijetora.