9. Bases ortonormais

9.1. Referências

  • Callioli 8.3

  • Boldrini 84

  • Lay 6.4

9.2. Conjuntos ortonormais

9.2.1. Resumo

Seja \(V\) um espaço vetorial com produto interno.

  • Todo conjunto \(S \in V\) que seja ortogonal será L.I.

  • Se \(\operatorname{dim}(V) = n\) e \(S\) tem \(n\) vetores e é ortogonal, então \(S\) é Base ortogonal de \(V\). Se \(S\) tem menos de \(n\) vetores, então \(S\) é base ortogonal de um subespaço de \(V\).

  • Se a norma de cada um dos vetores de uma base ortogonal \(S\) de \(V\) for 1, então dizemos que \(S\) é base ortonormal de \(V\).

  • As coordenadas do vetor \(\boldsymbol{v}\) de \(V\) na base ortonormal \(B = \left\{ \boldsymbol{g}_1, \dots \boldsymbol{g}_n\right\}\) serão \(\left[\boldsymbol{v}\right]_B = \left( \left\langle \boldsymbol{g}_1, \boldsymbol{v}\right\rangle, \dots, \left\langle \boldsymbol{g}_n, \boldsymbol{v} \right\rangle \right)\). Chamamos de coeficientes de Fourier de \(\boldsymbol{v}\) os escalares \(\dfrac{\left\langle \boldsymbol{g}_i, \boldsymbol{v}\right\rangle}{\left\Vert \boldsymbol{g}_i \right\Vert}\).

9.2.2. Videoaula

9.2.3. Exemplo

Em Breve

9.2.4. Exercício

Em breve

9.3. Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt

9.3.1. Resumo

Seja \(V\) um espaço vetorial com produto interno e finitamente gerado.

  • \(V\) tem base ortonormal

  • Dada a base \(B\), é possível ortogonalizá-la subtraindo do \(i\)-ésimo vetor a sua projeção sobre o \((i-1)\)-ésimo vetor, até o último.

9.3.2. Videoaula

9.4. Lista de exercícios