9. Bases ortonormais
9.1. Referências
Callioli 8.3
Boldrini 84
Lay 6.4
9.2. Conjuntos ortonormais
9.2.1. Resumo
Seja \(V\) um espaço vetorial com produto interno.
Todo conjunto \(S \in V\) que seja ortogonal será L.I.
Se \(\operatorname{dim}(V) = n\) e \(S\) tem \(n\) vetores e é ortogonal, então \(S\) é Base ortogonal de \(V\). Se \(S\) tem menos de \(n\) vetores, então \(S\) é base ortogonal de um subespaço de \(V\).
Se a norma de cada um dos vetores de uma base ortogonal \(S\) de \(V\) for 1, então dizemos que \(S\) é base ortonormal de \(V\).
As coordenadas do vetor \(\boldsymbol{v}\) de \(V\) na base ortonormal \(B = \left\{ \boldsymbol{g}_1, \dots \boldsymbol{g}_n\right\}\) serão \(\left[\boldsymbol{v}\right]_B = \left( \left\langle \boldsymbol{g}_1, \boldsymbol{v}\right\rangle, \dots, \left\langle \boldsymbol{g}_n, \boldsymbol{v} \right\rangle \right)\). Chamamos de coeficientes de Fourier de \(\boldsymbol{v}\) os escalares \(\dfrac{\left\langle \boldsymbol{g}_i, \boldsymbol{v}\right\rangle}{\left\Vert \boldsymbol{g}_i \right\Vert}\).
9.2.2. Videoaula
9.2.3. Exemplo
Em Breve
9.2.4. Exercício
Em breve
9.3. Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
9.3.1. Resumo
Seja \(V\) um espaço vetorial com produto interno e finitamente gerado.
\(V\) tem base ortonormal
Dada a base \(B\), é possível ortogonalizá-la subtraindo do \(i\)-ésimo vetor a sua projeção sobre o \((i-1)\)-ésimo vetor, até o último.
9.3.2. Videoaula
9.4. Lista de exercícios
Atividade 1.3 Para entrega