13. Núcleo e Imagem
13.1. Referências
Callioli 4.3, 4.4
Boldrini 5.3
13.2. Núcleo e Imagem
Núcleo de uma transformação linear
Núcleo de transformações injetoras
Teorema do Núcleo e da Imagem
13.2.1. Resumo
O núcleo de uma transformação linear \(F:V\to W\) é representado por \(\ker(F)\) e é o conjunto dos vetores \(\boldsymbol{v} \in V\) tais que \(F(\boldsymbol{v}) = \boldsymbol{0}\).
O Teorema do Núcleo e da Imagem afirma, para uma transformação linear \(F:V \to W\),
\[\dim(\ker(F)) + \dim(\operatorname{Im}(F)) = \dim(V)\]
13.2.2. Videoaula
13.2.3. Exemplo
13.2.4. Exercício
Considere a seguinte transformação linear \(F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\):
\[F(x, y, z) = (x + 2y - z, y + z, x + y - 2z)\]Obtenha uma base e a dimensão da imagem de \(F\)
Obtenha uma base e a dimensão do núcleo de \(F\)
13.3. Isomorfismos e Automorfismos
Isomorfismos
Automorfismos
Transformação inversa
Espaços vetoriais isomorfos
13.3.1. Resumo
Um Isomorfismo é uma transformação linear \(F:V \to W\) que seja bijetora.
Um isomorfismo \(F:V \to V\) é um automorfismo.
Se \(F:V \to W\) é um isomorfismo, então \(F^{-1}:W \to V\) também é um isomorfismo.
Se existe um isomorfismo \(F:V \to W\), os espaços \(V\) e \(W\) são isomorfos.
Dois espaços \(V\) e \(W\) são isomorfos se e somente se \(\dim(V) = \dim(W)\)
13.4. Lista de exercícios
13.5. Material suplementar
13.5.1. Videoaulas
- Engenharia UNIVESP — Geometria Analítica e Álgebra Linear - Aula 16 - Núcleo e Imagem
- Engenharia UNIVESP — Geometria Analítica e Álgebra Linear - Aula 20 - Núcleo e Imagem; Projeções
- IMPA —Programa de Iniciação Científica: Introdução à Álgebra Linear - Aula 05
- Álgebra Linear UFRJ 2018 3 Núcleo e Imagem
13.6. Respostas dos exercícios
\(\{(1, 0, 1), (0, 1, -1)\}\) é base de \(\operatorname{Im}(F)\), portanto \(\dim(\operatorname{Im}(F)) = 2\)
\(\{(3, -1, 1)\}\) é base de \(\ker(F)\), portanto \(\dim(\ker(F)) = 1\). Note que \(\dim(\operatorname{Im}(F)) + \dim(\ker(F)) = 2 + 1 = 3 = \dim(\mathbb{R}^3)\).