13. Núcleo e Imagem

13.1. Referências

  • Callioli 4.3, 4.4

  • Boldrini 5.3

13.2. Núcleo e Imagem

  • Núcleo de uma transformação linear

  • Núcleo de transformações injetoras

  • Teorema do Núcleo e da Imagem

13.2.1. Resumo

  • O núcleo de uma transformação linear \(F:V\to W\) é representado por \(\ker(F)\) e é o conjunto dos vetores \(\boldsymbol{v} \in V\) tais que \(F(\boldsymbol{v}) = \boldsymbol{0}\).

  • O Teorema do Núcleo e da Imagem afirma, para uma transformação linear \(F:V \to W\),

    \[\dim(\ker(F)) + \dim(\operatorname{Im}(F)) = \dim(V)\]

13.2.2. Videoaula

13.2.3. Exemplo

13.2.4. Exercício

  1. Considere a seguinte transformação linear \(F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\):

    \[F(x, y, z) = (x + 2y - z, y + z, x + y - 2z)\]
    1. Obtenha uma base e a dimensão da imagem de \(F\)

    2. Obtenha uma base e a dimensão do núcleo de \(F\)

13.3. Isomorfismos e Automorfismos

  • Isomorfismos

  • Automorfismos

  • Transformação inversa

  • Espaços vetoriais isomorfos

13.3.1. Resumo

  • Um Isomorfismo é uma transformação linear \(F:V \to W\) que seja bijetora.

  • Um isomorfismo \(F:V \to V\) é um automorfismo.

  • Se \(F:V \to W\) é um isomorfismo, então \(F^{-1}:W \to V\) também é um isomorfismo.

  • Se existe um isomorfismo \(F:V \to W\), os espaços \(V\) e \(W\) são isomorfos.

  • Dois espaços \(V\) e \(W\) são isomorfos se e somente se \(\dim(V) = \dim(W)\)

13.4. Lista de exercícios

13.5. Material suplementar

13.5.1. Videoaulas

Engenharia UNIVESP — Geometria Analítica e Álgebra Linear - Aula 16 - Núcleo e Imagem
Engenharia UNIVESP — Geometria Analítica e Álgebra Linear - Aula 20 - Núcleo e Imagem; Projeções
IMPA —Programa de Iniciação Científica: Introdução à Álgebra Linear - Aula 05
Álgebra Linear UFRJ 2018 3 Núcleo e Imagem

13.6. Respostas dos exercícios

    1. \(\{(1, 0, 1), (0, 1, -1)\}\) é base de \(\operatorname{Im}(F)\), portanto \(\dim(\operatorname{Im}(F)) = 2\)

    2. \(\{(3, -1, 1)\}\) é base de \(\ker(F)\), portanto \(\dim(\ker(F)) = 1\). Note que \(\dim(\operatorname{Im}(F)) + \dim(\ker(F)) = 2 + 1 = 3 = \dim(\mathbb{R}^3)\).