6. Coordenadas

6.1. Referências

• Calliolli 4.7 – 4.8

• Boldrini 4.6 – 4.7

6.2. Coordenadas

6.2.1. Definição

Seja \(V\) um espaço vetorial de dimensão \(n\) sobre o corpo \(\mathbb{K}\).

Seja \(B = \left\{\vec{v}_1,\vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n\right\}\) uma base ordenada desse espaço.

Para cada vetor \(\vec{v} \in V\), a \(n\)-upla de escalares \(\left( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\right)\) tal que

\[\vec{v} = \alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 + \dots + \alpha_n\vec{v}_n = \sum_{j=1}^{n} \alpha_j \vec{v}_j\]

é única e chamada de coordenadas de \(\vec{v}\) na base \(B\).

Essa definição de coordenadas estabelece, para cada base ordenada, uma relação entre cada vetor do espaço \(V\) e um vetor do espaço \(\mathbb{K}^n\).

Exemplo

No caso de espaços vetoriais de dimensão \(n\) sobre o corpo dos \(\mathbb{R}\), tomar as coordenadas dos vetores em relação a uma base dada é associar a cada vetor de \(V\) um único vetor do \(\mathbb{R}^n\), que é a sequência de esclares \((\alpha_1, \dots \alpha_n)\).

6.2.2. Videoaula

6.2.3. Exemplo

6.2.4. Exercícios

1. No espaço \(\mathbb{R}^3\), considere o vetor \(\vec{v} = \left(1, 2, 4\right)\). Obtenha suas coordenadas e a matriz de coordenadas em relação às bases:

   1. Canônica

   2. \(\displaystyle B = \left\{ (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 1, -1) \right\}\)

2. No espaço \(\boldsymbol{P}_2(\mathbb{R})\), dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2, considere o vetor \(\vec{v} = 2t^2 - 5 t + 6\). Escreva suas coordenadas e a matriz de coordenadas em relação às bases:

1. Canônica: \(\displaystyle C = \left\{ 1, t, t^2 \right\}\)

2. \(\displaystyle B = \left\{ 1, t-1, t^2 - 2t + 1 \right\}\)

6.3. Matriz mudança de base

6.3.1. Matriz de coordenadas

Costumamos representar as coordenadas de um vetor através da sua matriz de coordenadas, uma matriz coluna \(n \times 1\) cujas entradas são as coordenadas seguindo a ordem da base. A matriz de coordenadas do vetor \(\vec{v}\) em relação à base \(B\) se escreve \(\left[\vec{v}\right]_B\)

Exemplo

Considere um espaço vetorial \(V\) sobre o corpo \(\mathbb{R}\) dos reais e a base ordenada \(B = \left\{\vec{v}_1,\vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n\right\}\).

Um vetor \(\vec{v} = \alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 + \dots + \alpha_n\vec{v}_n\) terá coordenadas \((\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)\). Sua matriz de coordenadas será

\[\begin{split}\left[\vec{v}\right]_B = \begin{bmatrix}\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix}\end{split}\]

Nota

De forma análoga à ideia de que tomar as coordenadas de um vetor em relação à base \(B\) associa cada vetor de \(V\) a um vetor de \(\mathbb{K}^n\), existe uma relação entre cada vetor \(\vec{v}\) de \(V\) e um único vetor \(\left[\vec{v}\right]_B\) de \(M_{n \times 1}(\mathbb{K})\).

Esses três espaços vetoriais: \(V\), \(\mathbb{K}^n\) e \(M_{n \times 1}(\mathbb{K})\), têm a mesma dimensão e são isomorfos, ou seja, você pode realizar as operações que precisar em qualquer um deles e os resultados serão consistentes.

6.3.2. Matriz mudança de base

Considere o espaço vetorial :math: V de dimensão \(n\) e as bases ordenadas \(B = \left\{ \vec{u}_1, \vec{u}_2, \dots, \vec{u}_n\right\}\) e \(C = \left\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n\right\}\).

Um vetor \(\vec{w} \in V\) terá diferentes matrizes de coordenadas em cada base:

• \(\left[\vec{w}\right]_B = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}\)

• \(\left[\vec{w}\right]_C = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}\)

Existe uma única matriz \(n \times n\), \(\left[I\right]^B_C\), chamada matriz mudança de base de \(B\) para \(C\), tal que \(\left[\vec{w}\right]_C =\left[I\right]^B_C\left[\vec{w}\right]_B\)

Essa matriz é construída de forma que suas colunas sejam as coordenadas dos vetores da base de origem \(B\) em relação à base de destino \(C\):

\[\left[I\right]^B_C = \Biggl[\begin{matrix} \left[\vec{u}_1\right]_C & \left[\vec{u}_2\right]_C & \dots & \left[\vec{u}_n\right]_C \end{matrix}\Biggr]\]

Atenção

A notação da matriz mudança de base muda entre livros. Neste curso adotaremos a notação do Boldrini:

• Sabemos as coordenadas de \(\vec{w}\) em relação à base \(B\): \(\left[\vec{w}\right]_B\).

• Queremos as coordenadas de \(\vec{w}\) em relação à base \(C\): \(\left[\vec{w}\right]_C\).

• Multiplicamos as coordenadas em relação a \(B\) pela matriz \(\left[I\right]^B_C\), que é a matriz mudança de base de \(B\) para \(C\):

  \[\left[\vec{w}\right]_C =\left[I\right]^B_C\left[\vec{w}\right]_B\]

No símbolo da matriz mudança de base, o índice de cima é a base de origem, o índice de baixo a base de destino. Note que o índice de cima mostra * quais* vetores estão nas colunas, enquanto o índice de baixo mostra em que base eles estão escritos.

Aviso

Embora a notação seja parecida, não se trata de um sistema linear em que as incógnitas estão na matriz coluna que multiplica a matriz quadrada. Estamos multiplicando duas matrizes conhecidas para obter a matriz coluna desconhecida.

6.3.3. Videoaula

6.3.4. Exemplo

6.4. Lista de exercícios

• Lista aula 06

• Atividade 1.2 Para entrega

6.5. Material suplementar

6.5.1. Videoaulas

UNIVESP — Licenciatura em Matemática — Álgebra Linear - Aula 06 - Base, mudança de base

UNIVESP — Engenharia — Geometria Analítica e Álgebra Linear - Aula 19 - Mudança de Base. Representação Matricial

6.6. Respostas dos exercícios

6.6.1. Coordenadas

1. 1. \(\displaystyle \left[\vec{v}\right]_C = \begin{bmatrix}1\\2\\4\end{bmatrix}\)

   2. \(\displaystyle \left[\vec{v}\right]_B = \begin{bmatrix}1\\2\\-1\end{bmatrix}\)

2. 1. \(\displaystyle \left[\vec{v}\right]_C = \begin{bmatrix}6\\-5\\2\end{bmatrix}\)

   2. \(\displaystyle \left[\vec{v}\right]_B = \begin{bmatrix}3\\-1\\2\end{bmatrix}\)