2. Subespaços vetoriais

2.1. Referências

Calliolli 2.4 – 2.5
Boldrini 4.3
Lay 4.1

2.2. Subespaços

2.2.1. Definição

Seja \(V\) um espaço vetorial sobre o corpo \(\mathbb{K}\). Um subconjunto \(S\) de \(V\) (\(S \subset V\)) é subespaço vetorial de \(V\) se e somente se \(S\) for, por si só, espaço vetorial sobre \(\mathbb{K}\) com as mesmas operações de adição e multiplicação por escalar definidas para \(V\).

Ou seja, os vetores de \(S\) devem satisfazer aos 10 axiomas de espaço vetorial.

Teorema:

Seja \(S \in V\) subconjunto do espaço vetorial \(V\). \(S\) é subespaço vetorial de \(V\) se e somente se satisfaz os axiomas de fechamento, ou seja:

A soma \(\vec{u} + \vec{v}\) de vetores quaisquer \(\vec{u},\vec{v} \in S\) é um elemento de \(S\)
O produto de um vetor \(\vec{u} \in S\) por um escalar \(\alpha \in \mathbb{K}\) é um elemento de \(S\)

Ou seja, dado um espaço vetorial \(V\) e um subconjunto \(S\), basta testar se o conjunto é fechado por adição e multiplicação por escalares. Se for, os outros 8 axiomas serão automaticamente cumpridos (vide demonstração na videoaula).

2.2.2. Videoaula

2.2.3. Exemplos

2.3. Intersecção e Soma de Subespaços

2.3.1. Intersecção

Considere \(U\) e \(W\), subespaços de um espaço vetorial \(V\). A intersecção \(U \cap W\) também será subespaço vetorial de \(V\). Para demonstrar isso, devemos demonstrar os axiomas de fechamento para os vetores da intersecção.

Nota

Se \(U\) e \(W\) são subespaços de \(V\), então a intersecção conterá pelo menos o vetor nulo.

Por quê?

2.3.2. Soma de subespaços

Sejam \(U\) e \(W\) subespaços de um espaço vetorial \(V\). Definimos a soma \(U + W\) como o conjunto \(U + W = \left\{ \vec{u} + \vec{w} \middle\vert \vec{u} \in U \text{ e } \vec{w} \in W\right\}\). Ou seja, os vetores da soma \(U + W\) são a soma de um vetor de \(U\) com um vetor de \(W\).

Esse conjunto também será subespaço de \(V\).

2.4. Exercícios

Mostre que o plano \(xy\) do \(\mathbb{R}^3\), ou seja, os vetores \((x, y, 0)\), são um subespaço vetorial de \(\mathbb{R}^3\).
- Verifique que esse conjunto obedece a todos os 10 axiomas de espaço vetorial
Mostre que o círculo unitário em \(\mathbb{R}^2\), ou seja os vetores \((x, y)\) tais que \(\sqrt{x^2 + y^2} \leqslant 1\), não é um subespaço de \(\mathbb{R}^2\).
- Verifique que esse conjunto não satisfaz aos axiomas ide fechamento (pode fazer encontrando contraexemplos), mas que ele satisfaz todos os 8 seguintes.

2.5. Lista de exercícios

Lista da Aula 02

2.6. Material suplementar

2.6.1. Videoaulas

Engenharia UNIVESP — Aula 12 - Espaços Vetoriais Reais e Subespaços: A partir de 13min40s:
IMPA — Programa de Iniciação Científica: Introdução à Álgebra Linear — Aula 01: A partir de 1h06min: