Álgebra de transformações Lineares¶
Aula síncrona 22/out/2020
Referências¶
Callioli 5.1
Operações com transformações lineares¶
Adição de transformações lineares
Multiplicação de transformações lineares por escalar
Espaço vetorial de transformações lineares
Resumo¶
Sejam \(V, W\) espaços vetoriais sobre o corpo \(\mathbb{K}\), e \(F, G\) transformações lineares de \(V\) em \(W\).
O conjunto \(L(V, W)\) das transformações lineares de \(V\) em \(W\) é um espaço vetorial sobre o corpo \(\mathbb{K}\) com as seguintes operações:
A adição de transformações lineares é definida como
\[(F+G)(\vec{u}) = F(\vec{u}) + G(\vec{u})\]A multiplicação da transformação linear por um escalar é definida como
\[(\lambda F)(\vec{u}) = \lambda F(\vec{u})\]com \(\vec{u} \in V\) e \(\lambda \in \mathbb{K}\).
Tanto \(F+G\) quanto \(\lambda F\) são transformações lineares de \(V\) em \(W\).
Videoaula¶
Em breve…
Exemplo¶
Em breve…
Exercício¶
Em breve…
Composição de transformações lineares¶
Operação de composição de transformações lineares
Composição de transformações lineares como multiplicação
Operadores lineares
Potenciação de operadores
Operadores idempotentes
Operadores nilpotentes
Resumo¶
Sejam U, V, W espaços vetoriais sobre o corpo \(\mathbb{K}\) e \(F: U \to V\) e \(G: V \to W\) transformações lineares.
A transformação composta \(GF\) dada por \((GF)(\vec{u}) = G(F(\vec{u}))\) é uma transformação linear de \(U\) em \(W\).
A composta :math`GF` também é notada por :math`G circ F`.
Chamamos de operador linear uma transformação linear \(F:V \to V\) que leva vetores do espaço \(V\) a vetores do mesmo espaço vetorial.
\(L(V)\) é o espaço vetorial dos operadores lineares de \(V\)
A composição de operadores lineares funciona como uma multiplicação com as seguintes propriedades: [Sejam \(F, G, H \in L(V)\) e \(\lambda \in \mathbb{K}\)]
- Associativa
\((HG)F = H(GF)\)
- Identidade
Existe o operador \(I \in L(V)\) tal que \(IF = FI = F\)
- Associatividade da adição
\(H(F + G) = HF + HG\)
\((F+G) H = FH + GH\)
- Associatividade da multiplicação por escalar
\(\lambda(GF) = (\lambda G)F = G(\lambda F)\)
Videoaula¶
Em breve…
Exemplo¶
Em breve…
Exercício¶
Em breve…
Lista de exercícios¶
Aulas síncronas¶
- Turma 02
- Turma 03