Bases ortonormais¶
Aula síncrona 24/set/2020
Referências¶
Callioli 8.3
Boldrini 84
Lay 6.4
Bases ortonormais¶
Resumo¶
Seja \(V\) um espaço vetorial com produto interno.
Todo conjunto \(S \in V\) que seja ortogonal será L.I.
Se \(\operatorname{dim}(V) = n\) e \(S\) tem \(n\) vetores e é ortogonal, então \(S\) é Base ortogonal de \(V\). Se \(S\) tem menos de \(n\) vetores, então \(S\) é base ortogonal de um subespaço de \(V\).
Se a norma de cada um dos vetores de uma base ortogonal \(S\) de \(V\) for 1, então dizemos que \(S\) é base ortonormal de \(V\).
As coordenadas do vetor \(\boldsymbol{v}\) de \(V\) na base ortonormal \(B = \left\{ \boldsymbol{g}_1, \dots \boldsymbol{g}_n\right\}\) serão \(\left[\boldsymbol{v}\right]_B = \left( \left\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{g}_1 \right\rangle \boldsymbol{g}_1, \dots, \left\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{g}_n \right\rangle \boldsymbol{g}_n \right)\). Chamamos de coeficientes de Fourier de \(\boldsymbol{v}\) os escalares \(\frac{\left\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{g}_i \right\rangle}{\left\Vert \boldsymbol{g}_i \right\Vert}\).
Videoaula¶
Será exposto durante a aula síncrona.
Exemplo¶
Em Breve
Exercício¶
Em breve
Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt¶
Resumo¶
Seja \(V\) um espaço vetorial com produto interno e finitamente gerado.
\(V\) tem base ortonormal
Dada a base \(B\), é possível ortogonalizá-la subtraindo do \(i\)-ésimo vetor a sua projeção sobre o \((i-1)\)-ésimo vetor, até o último.
Videoaula¶
Durante a aula síncrona
Exemplo¶
Em breve
Exercício¶
Em breve
Lista de exercícios¶
Aulas síncronas¶
- Turma 02
- Turma 03