Referências¶

Formas lineares, bilineares e quadráticas¶

Uma Forma linear é uma transformação linear que associa um vetor do espaço vetorial \(V\) a um escalar.
Uma Forma bilinear \(f(\vec{v}, \vec{w})\) associa cada par ordenado de vetores a um escalar. A operação é aditiva e homogênea em cada um dos vetores.
A matriz de uma forma bilinear é tal que \(f(\vec{v}, \vec{w}) = \begin{bmatrix}\vec{v}\end{bmatrix}^t \begin{bmatrix}f\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\vec{w}\end{bmatrix}\)
Uma forma bilinear \(f:V\times V \to \mathbb{R}\) é simétrica se e somente se \(f(\vec{v}, \vec{w}) = f(\vec{w}, \vec{v})\).
A matriz de uma forma bilinear simétrica é simétrica: \(\begin{bmatrix}f\end{bmatrix}^t =\begin{bmatrix}f\end{bmatrix}\).
Uma Forma quadrática \(q:(\vec{v}) = f(\vec{v}, \vec{v})\) consiste na aplicação do mesmo vetor nos dois argumentos de uma forma bilinear simétrica.

Considere a forma bilinear \(f:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) dada por \(f((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = 2x_1 y_1 - 3 x_1 y_2 + x_2 y_2\).
1. Obtenha a matriz \(\begin{bmatrix}f\end{bmatrix}_C\) de \(f\), onde \(C\) é a base canônica de \(\mathbb{R}^2\)
2. Obtenha a matriz \(\begin{bmatrix}f\end{bmatrix}_B\) de \(f\), onde \(B = \left\{ \vec{v}_1 = (1,0), \vec{v}_2 = (1,1) \right\}\) é base de \(\mathbb{R}^2\)
Obtenha a forma quadrática \(q(x,y)\) correspondente, na base canônica de \(\mathbb{R}^2\), à matriz simétrica

\[\begin{split}A = \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 8 \end{bmatrix}\end{split}\]
Obtenha a matriz simétrica, em relação à base canônica, da forma quadrática \(q(x,y,z) = 2x^2 -10xy -6 y^2 + 2 xz - 14 yz + 9 z^2\).

1. \(\begin{bmatrix}2 & -3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\)
2. \(\begin{bmatrix}2 & -1 \\ 2 & 0\end{bmatrix}\)
\(q(x,y) = 5x^2 -6 xy + 8y^2\)
\(\begin{bmatrix} 2 & -5 & 1 \\ -5 & -6 & -7 \\ 1 & -7 & 9 \end{bmatrix}\)