9. Bases ortonormais¶

Aula síncrona e questionário: quinta, 8 de julho de 2021

9.1. Referências¶

Callioli 8.3

Boldrini 84

Lay 6.4

9.2. Conjuntos ortonormais¶

9.2.1. Resumo¶

Seja \(V\) um espaço vetorial com produto interno.

Todo conjunto \(S \in V\) que seja ortogonal será L.I.

Se \(\operatorname{dim}(V) = n\) e \(S\) tem \(n\) vetores e é ortogonal, então \(S\) é Base ortogonal de \(V\). Se \(S\) tem menos de \(n\) vetores, então \(S\) é base ortogonal de um subespaço de \(V\).

Se a norma de cada um dos vetores de uma base ortogonal \(S\) de \(V\) for 1, então dizemos que \(S\) é base ortonormal de \(V\).

As coordenadas do vetor \(\boldsymbol{v}\) de \(V\) na base ortonormal \(B = \left\{ \boldsymbol{g}_1, \dots \boldsymbol{g}_n\right\}\) serão \(\left[\boldsymbol{v}\right]_B = \left( \left\langle \boldsymbol{g}_1, \boldsymbol{v}\right\rangle, \dots, \left\langle \boldsymbol{g}_n, \boldsymbol{v} \right\rangle \right)\). Chamamos de coeficientes de Fourier de \(\boldsymbol{v}\) os escalares \(\dfrac{\left\langle \boldsymbol{g}_i, \boldsymbol{v}\right\rangle}{\left\Vert \boldsymbol{g}_i \right\Vert}\).

9.2.2. Videoaula¶

9.2.3. Exemplo¶

Em Breve

9.2.4. Exercício¶

Em breve

9.3. Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt¶

9.3.1. Resumo¶

Seja \(V\) um espaço vetorial com produto interno e finitamente gerado.

\(V\) tem base ortonormal

Dada a base \(B\), é possível ortogonalizá-la subtraindo do \(i\)-ésimo vetor a sua projeção sobre o \((i-1)\)-ésimo vetor, até o último.