3. Combinações lineares e subespaços gerados¶
Aula síncrona e questionário: quinta, 17 de junho de 2021
3.1. Referências¶
Callioli 2.6 - 2.7
Boldrini 4.4
Lay 4.3, 4.5
3.2. Combinações lineares¶
3.2.1. Definição¶
Seja \(V\) um espaço vetorial sobre um corpo \(\mathbb{K}\). O vetor \(\vec{v}\) de \(V\) dado por
onde \(\vec{u}_1, \dots, \vec{u}_n\) são vetores de \(V\) e \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) são escalares, é uma combinação linear dos vetores \(\vec{u}_1, \dots, \vec{u}_n\).
Ou seja, uma combinação linear de vetores é a soma de múltiplos desses vetores.
De maneira análoga, podemos dizer que \(\vec{v}\) é combinação linear dos vetores \(\vec{u}_1, \dots, \vec{u}_m\) se e somente se existirem escalares \(\alpha_1, \dots \alpha_n\) que sejam soluções da equação
Nota
Dados os vetores \(\vec{v}, \vec{u}_1, \dots, \vec{u}_n\), determinar se \(\vec{v}\) é combinação linear dos \(\vec{u}_i\) consiste em determinar se existem as soluções \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) em um sistema linear de \(n\) incógnitas.
Dependendo dos vetores, esse sistema pode ter:
Exatamente uma solução: um sistema possível e determinado
Infinitas soluções, com pelo menos um dos \(\alpha_i\) como variável livre: um sistema possível e indeterminado *
Neste caso, existe mais de uma forma de escrever \(\vec{v}\) como combinação linear dos \(\vec{u}_i\).
Nenhuma solução: sistema impossível.
Nesse caso, o vetor \(\vec{v}\) não é combinação linear dos \(\vec{u}_i\).
- *
O sistema indeterminado terá infinitas soluções se o corpo \(\mathbb{K}\) tiver uma infindade de elementos. Para os corpos finitos, o sistema terá um número finito de soluções. Como tipicamente lidamos com o corpo \(\mathbb{R}\) dos reais e o corpo \(\mathbb{C}\) dos complexos, consideramos o caso de infinitas soluções.
3.2.2. Videoaula¶
3.2.3. Exemplos¶
3.2.4. Exercícios¶
Considere o espaço vetorial \(\mathbb{R}^3\) e os vetores
\(\vec{u}_1 = (1, 0, -1)\)
\(\vec{u}_2 = (-1, 1, 0)\)
\(\vec{u}_3 = (2, 1, -1)\)
\(\vec{u}_4 = (-1, 0, -1)\).
Obtenha os vetores dados pelas combinações lineares abaixo:
\(\vec{u}_1 + 2 \vec{u}_2\).
\(-\vec{u}_1 + \vec{u}_2 + \vec{u}_3\).
\(2 \vec{u}_1 + \vec{u}_2 - \vec{u}_3 - \vec{u}_4\).
Procure escrever o vetor \(\vec{u}_4\) como combinação linear dos outros três vetores do exercício anterior. Compare com o resultado do item anterior.
Considere o espaço vetorial \(\boldsymbol{P}_2(\mathbb{R})\), dos polinômios de grau \(\leqslant 2\), e os vetores
\(\vec{u}_1 = u_1(t) = 1 - t^2\)
\(\vec{u}_2 = u_2(t) = -1 + t\)
\(\vec{u}_3 = u_3(t) = 2 + t - t^2\)
\(\vec{u}_4 = u_4(t) = -1 -t^2\).
Obtenha os vetores dados pelas combinações lineares abaixo:
\(\vec{u}_1 + 2 \vec{u}_2\).
\(-\vec{u}_1 + \vec{u}_2 + \vec{u}_3\).
\(2 \vec{u}_1 + \vec{u}_2 - \vec{u}_3 - \vec{u}_4\).
Procure escrever o vetor \(\vec{u}_4\) como combinação linear dos outros três vetores do exercício anterior. Compare com o resultado do item anterior.
3.3. Subespaços gerados¶
3.3.1. Definição¶
Seja \(V\) um espaço vetorial sobre o corpo \(\mathbb{K}\). Considerando o subconjunto \(S = \left\{ \vec{u}_1, \vec{u}_2, \dots, \vec{u}_n \right\} \subset V\), construímos o seguinte subconjunto de \(V\):
de todas as combinações lineares dos vetores de \(S\).
Embora a definição acima seja de um mero subconjunto de \(V\), é possível provar que todo conjunto construído assim é um, espaço vetorial (considerando as operações de adição e multiplicação por escalar do espaço \(V\)) e, portanto será subespaço de \(V\). A demonstração está na videoaula.
Nota
\(\left[S\right]\) é o subespaço vetorial de V gerado por S.
Também pode aparecer como \(\operatorname{ger}(S)\) ou \(\operatorname{span}(S)\) †
\(S\) é o conjunto gerador de \(\left[S\right]\)
- †
Span é a palavra em inglês utilizada para o conceito de gerar um espaço vetorial: \(\operatorname{span}(S)\) is the space spanned by the set \(S\); The set \(S\) spans the vector space \(\operatorname{span}(S)\). (\(\operatorname{span}(S)\) é o espaço gerado pelo conjunto \(S\); O conjunto \(S\) gera o espaço vetorial \(\operatorname{span}(S)\))
3.3.2. Videoaula¶
3.3.3. Exercícios¶
Mostre que os vetores \(\vec{u}_1 = (1, 2, 3)\), \(\vec{u}_2 = (0, 1, 2)\) e \(\vec{u}_3 = (0, 0, 1)\) geram o espaço vetorial \(\mathbb{R}^3\).
Para isto, mostre que um vetor arbitrário \((a, b, c)\) pode ser escrito como combinação linear de \(\vec{u}_1\), \(\vec{u}_2\) e \(\vec{u}_3\), ou seja, independente dos valores de \(a\), \(b\) e \(c\), o sistema \((a, b, c) = x \vec{u_1} + y \vec{u}_2 + z \vec{u}_3\) sempre tem solução (não precisa ser única).
Mostre que os vetores \(\vec{u}_1 = (1, 2, 5)\), \(\vec{u}_2 = (1, 3, 7)\) e \(\vec{u}_3 = (1, -1, -1)\) não geram o espaço vetorial \(\mathbb{R}^3\).
Para isto, mostre que um vetor arbitrário \((a, b, c)\) só pode ser escrito como combinação linear de \(\vec{u}_1\), \(\vec{u}_2\) e \(\vec{u}_3\) para certos valores de \(a\), \(b\) e \(c\), ou seja, o sistema \((a, b, c) = x \vec{u_1} + y \vec{u}_2 + z \vec{u}_3\) pode ser impossível para alguns valores de \(a\), \(b\) e \(c\).
Mostre que os vetores \(\vec{u}_1 = u_1(t) = 1 + 2t + 3t^2\), \(\vec{u}_2 = u_2(t) = t + 2t^2\), \(\vec{u}_3 = u_3(t) = t^2\) geram o espaço vetorial \(\boldsymbol{P}_2(\mathbb{R})\), dos polinômios de grau \(\leqslant 2\).
Mostre que os vetores \(\vec{u}_1 = u_1(t) = 1 + 2t + 5t^2\), \(\vec{u}_2 = u_2(t) = 1 + 3t + 7t^2\), \(\vec{u}_3 = u_3(t) = 1 - t - t^2\) não geram o espaço vetorial \(\boldsymbol{P}_2(\mathbb{R})\), dos polinômios de grau \(\leqslant 2\).
3.4. Lista de exercício¶
3.5. Material suplementar¶
- Engenharia UNIVESP — Aula Aula 16 - Combinações Lineares. Subespaços
- Khan Academy Brasil — Combinação Linear e Espaços Gerados
- Combinações lineares, subespaços gerados, e bases | A essência da Álgebra Linear, capítulo 2
3.6. Aulas síncronas¶
- Turma 04:
Notas de aula - Turma 05:
Notas de aula