12. Transformações Lineares

  • Aula síncrona e questionário: quinta, 22 de julho de 2021

12.1. Referências

  • Callioli 4.2

  • Boldrini 5.1; 5.3

12.2. Transformações Lineares

  • Transformações lineares

  • Propriedades de transformações lineares

  • Operadores lineares

  • Transformações e combinações lineares

12.2.1. Definição

Sejam \(V\) e \(W\) espaços vetoriais. Uma transformação linear ou aplicação linear ou mapa linear é uma transformação de \(V\) em \(W\), \(F: V \to W\), que satisfaz as seguintes propriedades:

  • Aditividade: Para quaisquer \(\boldsymbol{u}\) e \(\boldsymbol{v}\) vetores de \(V\),

    \[F(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) = F(\boldsymbol{u}) + F(\boldsymbol{v})\]

  • Homogeneidade: Para quaisquer vetor \(\boldsymbol{u}\) de \(V\) e escalar \(\lambda\),

    \[F(\lambda \boldsymbol{u}) = \lambda F(\boldsymbol{u})\]

12.2.2. Videoaula

12.2.3. Exemplo

12.2.4. Exercício

  1. Considere a transformação linear \(F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) tal que

    \[\begin{split}\left\{\begin{aligned} F(1, 0, 0) &= (2, 3, 1) \\ F(0, 1, 0) &= (1, -1, 0) \\ F(0, 0, 1) &= (1, 4, 1) \end{aligned}\right.\end{split}\]

    Calcule:

    1. \(F(1, 1, 0)\)

    2. \(F(0, 1, 1)\)

    3. \(F(1, 2, 3)\)

    4. \(F(-1, 1, 1)\)

    5. \(F(0, 0, 0)\)

    6. \(F(x, y, z)\)

12.3. Lista de exercícios

12.4. Material suplementar

12.4.1. Videoaulas

UNIVESP Engenharia — Geometria Analítica e Álgebra Linear - Aula 14 - Transformações Lineares e Matrizes
UNIVESP Licenciatura — Álgebra Linear - Aula 08 - Transformações lineares planas
IMPA – Programa de Iniciação Científica: Introdução à Álgebra Linear - Aula 03

12.4.2. Video complementar

3Blue1Brown — Transformações lineares e matrizes | Essência da álgebra linear, capítulo 3

12.5. Resposta do exercício

  1. Como \(F\) é linear, vale a propriedade \(F(\alpha\vec{u} + \beta \vec{v}) = \alpha F(\vec{u}) + \beta F(\vec{v})\):


    1. \[\begin{split}\begin{aligned} F(1, 1, 0) &= F((1, 0, 0) + (0, 1, 0)) \\ &= F(1, 0, 0) + F(0, 1, 0) \\ &= (2, 3, 1) + (1, -1, 0) \\ &= (3, 2, 1) \end{aligned}\end{split}\]

    2. \[\begin{split}\begin{aligned} F(0, 1, 1) &= F((0, 1, 0) + (0, 0, 1)) \\ &= F(0, 1, 0), + F(0, 0, 1) \\ &= (1, -1, 0) + (1, 4, 1) \\ &= (2, 3, 1) \end{aligned}\end{split}\]

    3. \[\begin{split}\begin{aligned} F(1, 2, 3) &= F((1, 0, 0) + 2(0, 1, 0), + 3(0, 0, 1)) \\ &= F(1, 0, 0) + 2F(0, 1, 0), + 3F(0, 0, 1) \\ &= (2, 3, 1) + 2 (1, -1, 0) + 3 (1, 4,1 ) \\ &= (7, 13, 4) \end{aligned}\end{split}\]

    4. \[\begin{split}\begin{aligned} F(-1, 1, 1) &= F(-(1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 0, 1)) \\ &= -F(1, 0, 0) + F(0, 1, 0) + F(0, 0, 1) \\ &= - (2, 3, 1) + (1, -1, 0) + (1, 4, 1) \\ &= (0,0,0) \end{aligned}\end{split}\]

    5. \(F(0, 0, 0) = (0,0,0)\) porque transformações lineares levam o vetor nulo ao vetor nulo.


    6. \[\begin{split}\begin{aligned} F(x, y, z) &= F(x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0), + z(0, 0, 1)) \\ &= xF(1, 0, 0) + yF(0, 1, 0), + zF(0, 0, 1) \\ &= x(2, 3, 1) + y (1, -1, 0) + z (1, 4,1 ) \\ F(x, y, z) &= (2x + y + z, 3x - y + 4z, x+z) \end{aligned}\end{split}\]

12.6. Aulas Síncronas

Turma 04: Notas de aula
Turma 05: Notas de aula