23. Primitivas imediatas

23.1. Referências

  • Guidorizzi cap. 10.1 – 10.2; 11.4; 12.1

  • Stewart 4.4

23.2. Programa

  • Propriedades da integral indefinida

  • Primitivas e antiderivadas imediatas

23.3. Conteúdo

23.3.1. Definição e propriedades

Definição

Seja \(f\) uma função. A função \(F\) será uma primitiva (ou antiderivada) de \(f\) se e somente se:

\[F^\prime(x) = f(x),\]

Ou seja, se e somente se \(f\) for a derivada de \(F\).

Se \(F\) é uma primitiva de \(f\), então a função \(G\) dada por \(G(x) = F(x) + k\), para \(k\) uma constante qualquer, também será uma primitiva de \(f\).

Além disso, todas as primitivas de \(f\) são da forma acima, ou seja, diferem entre si apenas por uma constante aditiva.

Portanto, embora a integração/primitivação possa ser entendida como uma operação inversa da derivação, seu resultado não é único. A unicidade da solução aparece na integral definida ou no fornecimento de condições iniciais.

Definição

A família de primitivas de \(f\), também chamada de integral indefinida de \(f\), é representada pelo símbolo:

\[\int f(x) \mathrm{d} x = F(x) + k\]

Nesse contexto, chamamos a expressão \(f(x)\) de integrando.

Do Teorema Fundamental do Cálculo e das propriedades das derivadas, podemos inferir duas importantes propriedades das integrais que, juntas, significam que a integral é uma operação linear.

Aditividade

\(\displaystyle \int \left[ f(x) + g(x) \right] \mathrm{d}x = \int f(x) \mathrm{d}x + \int g(x) \mathrm{d} x\)

Homogeneidade

\(\displaystyle \int c f(x) \mathrm{d}x = c \int f(x) \mathrm{d}x\), com \(c\) constante

23.3.2. Primitivas imediatas

Embora a derivação consista em um algoritmo com passos bem determinados que levam certamente a uma resposta, o cálculo de primitivas não é tão direto e depende de reconhecermos as primitivas de funções elementares. Nas próximas aulas, veremos técnicas para reduzir integrais mais complicadas a combinações dessas primitivas imediatas.

Você vai reconhecer a tabela abaixo como a inversão da tabela de derivadas de funções elementares. É um bom exercício calcular a derivada do lado direito para confirmar a validade de cada uma.

  • \(\displaystyle \int c \, \mathrm{d}x = cx + k\)

  • \(\displaystyle \int x^n \, \mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + k\) (note: \(n \neq -1\))

  • \(\displaystyle \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x = \ln{x} + k\) (para \(x > 0\))

  • \(\displaystyle \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x = \ln{(-x)} + k\) (para \(x < 0\))

  • \(\displaystyle \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x = \ln{\left\vert x\right\vert} + k\)

  • \(\displaystyle \int e^x \, \mathrm{d}x = e^x + k\)

  • \(\displaystyle \int \cos(x) \, \mathrm{d}x = \operatorname{sen}(x) + k\)

  • \(\displaystyle \int \operatorname{sen}(x) \, \mathrm{d}x = -\cos(x) + k\)

  • \(\displaystyle \int \sec^2(x) \, \mathrm{d}x = \tan(x) + k\)

  • \(\displaystyle \int \sec(x)\tan(x) \, \mathrm{d}x = \sec(x) + k\)

  • \(\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2} \, \mathrm{d}x = \arctan(x) + k\)

  • \(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x = \operatorname{arcsen}(x) + k\)

Algumas funções elementares têm primitivas um tanto inesperadas, mas que poderão ser entendidas nas próximas aulas:

  • \(\displaystyle \int \tan(x) \, \mathrm{d}x = -\ln{\left\vert \cos(x)\right\vert} + k\)

  • \(\displaystyle \int \sec(x) \, \mathrm{d}x = \ln{\left\vert \sec(x) + \tan(x)\right\vert} + k\)

Se o integrando for uma função composta por um múltiplo de \(x\), a constante multiplicativa aparece dividindo a primitiva:

  • \(\displaystyle \int f(\alpha x) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{\alpha} F(\alpha x) + k\)

  • \(\displaystyle \int e^{\alpha x} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{\alpha} e^{\alpha x} + k\)

  • \(\displaystyle \int \cos(\alpha x) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{\alpha} \operatorname{sen}(\alpha x) + k\)

Em alguns casos, é possível realizar simples manipulações algébricas no integrando para fazer aparecer as primitivas imediatas:

Exemplo

Calcule \(\int \cos^2 (x) \, \mathrm{d}x\).

Podemos utilizar as relações trigonométricas de arco-duplo para reescrever:

\[\cos^2(x) = \frac{1}{2} + \frac{\cos(2x)}{2}\]

então temos:

\[\begin{split}\begin{aligned} \int \cos^2(x)\, \mathrm{d}x &= \int \left[\frac{1}{2} + \frac{\cos(2x)}{2}\right]\, \mathrm{d}x \\ &= \int \frac{1}{2} \, \mathrm{d}x + \int \frac{1}{2}\cos(2x)\, \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2} x + k_1+ \frac{1}{2}\int\cos(2x)\, \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2} x + k_1 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} \operatorname{sen}(2x) + k_2 \\ &= \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \operatorname{sen}(2x) + k \end{aligned}\end{split}\]

Note que podemos combinar as constantes aditivas de cada família de primitivas.

Exercício

Derive a primitiva obtida para verificar que está correta.

23.4. Videoaulas

Cursos UNIVESP Engeharia: Cálculo I - Aula 18 - Primitivas
Cálculo I - Aula 21 - Técnicas de integração - parte 1 (até os 4 minutos)

23.5. Lista

23.6. Material suplementar

23.6.1. Videoaulas

Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 40 - Teorema Fundamental do Cálculo - parte 2