19. Regras de L’Hospital¶
19.1. Referências¶
Guidorizzi 9.4
Stewart 6.8
19.2. Programa¶
Indeterminações em limites
Indeterminações tipo \(\frac{0}{0}\) e \(\frac{\infty}{\infty}\).
Regras de l’Hospital
19.3. Conteúdo¶
19.3.1. Formas indeterminadas¶
As Regras de l’Hospital (alternativamente, l’Hôpital, pronúncia “Lopitál”) são válidas para limites do tipo
que resulta em uma indeterminação do tipo \(\frac{0}{0}\). Outras formas indeterminadas que possam ser reduzidas a indeterminações \(\frac{0}{0}\) também podem ser solucionadas com as Regras de L’Hospital:
- Indeterminações tipo \(\frac{\infty}{\infty}\)
Indeterminações tipo \(\frac{\infty}{\infty}\), que representam limites do tipo
\[\lim_{x \to p} \frac{f(x)}{g(x)}, \text{ com } \lim_{x\to p}f(x) = \lim_{x\to p}g(x) = \pm\infty,\]podem ser reduzidas ao caso anterior fazendo:
\[\lim_{x \to p} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to p} \frac{\left(\frac{1}{f(x)}\right)}{\left(\frac{1}{g(x)}\right)} \to \frac{0}{0}\]- Indeterminações tipo \(0 \cdot {\infty}\)
Indeterminações tipo \(0 \cdot \infty\), que representam limites do tipo
\[\lim_{x \to p} f(x)g(x), \text{ com } \lim_{x\to p}f(x) = 0 \text{ e } \lim_{x\to p}g(x) = \pm\infty,\]podem ser reduzidas ao caso anterior fazendo:
\[\lim_{x \to p} f(x)g(x) = \lim_{x \to p} \frac{f(x)}{\left(\frac{1}{g(x)}\right)} \to \frac{0}{0}\]
19.3.2. Regras de L’Hospital¶
A Regra de L’Hospital diz que se \(\lim_{x\to p}f(x) = \lim_{x\to p}g(x) = 0\), então
\[\lim_{x \to p} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to p} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}\text{, se existir}\]
Ou seja, o limite que resulta em uma indeterminação tipo \(\frac{0}{0}\) pode ser calculado como o limite da derivada do numerador dividida pela derivada do denominador.
Atenção
Esse resultado só é válido caso o limite de \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) resulte em uma indeterminação tio \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\). Em caso de outras indeterminações, será necessário reduzi-las a esses casos.
19.4. Lista¶
19.5. Material suplementar¶
19.5.1. Videoaulas¶
- Cursos UNIVESP: Cálculo I - Aula 12 - Regra de L’Hôpital
- Cálculo I - Aula 17 (3/3) Regras de L’Hospital: conceito, cuidados e exemplos
- Cálculo I - Aula 18 (1/3) Regras de L’Hospital: exemplos
- Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 34 - Regra de L’Hôpital - parte 1
- Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 35 - Regra de L’Hôpital - parte 2