7. Produto Interno¶
Questionário: terça, 16 de novembro de 2021
Aula síncrona: quinta, 18 de novembro de 2021
7.1. Referências¶
Callioli 6.1, 6.6
Boldrini 8.1, 8.6
Lay 6.1
7.2. Definição de produto interno¶
7.2.1. Visão geral¶
Um produto interno é uma operação que leva um par ordenado de vetores \((\vec{u}, \vec{v})\) a um escalar (real ou complexo), denotado por \(\left\langle\vec{u},\vec{v}\right\rangle\) e que obedece aos seguintes axiomas:
\(\left\langle\vec{u},\vec{v}\right\rangle = \left\langle\vec{v},\vec{u}\right\rangle\)
\(\left\langle\vec{u},\vec{v} + \vec{w}\right\rangle = \left\langle\vec{u},\vec{v}\right\rangle + \left\langle\vec{u},\vec{w}\right\rangle\)
\(\left\langle\vec{u},\alpha\vec{v}\right\rangle = \alpha\left\langle\vec{u},\vec{v}\right\rangle\)
\(\left\langle\vec{u},\vec{u}\right\rangle \geqslant 0\), sendo que \(\left\langle\vec{u},\vec{u}\right\rangle = 0 \Leftrightarrow \vec{u} = \vec{0}\)
Se o espaço vetorial é construído sobre o corpo dos complexos, a primeira propriedade fica
\(\left\langle\vec{u},\vec{v}\right\rangle = \overline{\left\langle\vec{v},\vec{u}\right\rangle}\)
Com \(\overline{z} = a-bi\) o complexo conjugado de \(z = a+bi\).
7.2.2. Videoaula¶
7.2.3. Exercício¶
Verifique que o produto interno usual sobre o \(\mathbb{C}^n\) dado por \(\left\langle\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\right\rangle = \sum_{i=1}^{n} \overline{u_i}v_i\) satisfaz os axiomas de produto interno.
7.3. Lista de exercícios¶
7.4. Material suplementar¶
7.4.1. Videoaulas¶
- UNIVESP — Licenciatura em Matemática — Álgebra Linear - Aula 13 - Espaços vetoriais com produtos internos
- UNIVESP — Engenharia — Geometria Analítica e Álgebra Linear - Aula 17 - Produto Interno e Ortogonalidade
- Álgebra Linear Cabral & Goldfeld — 05-01 Produto Interno (Norma, Distância, Ângulo)
7.5. Resposta do exercício¶
Na aula síncrona.