2. Conjuntos numéricos: Números reais

2.1. Referências

  • Stewart 1.1

  • Boulos 1.1-1.2

  • Demana Capítulo 1

  • Medeiros 1.1—1.3; 1.8; 2.1

2.2. Programa

  • Conjuntos numéricos

  • Ordem na reta

  • Representação dos números reais

  • Notação científica

  • Notação de intervalos

2.3. Axiomas de corpo

2.3.1. Definição

Um corpo é um conjunto \(\mathbb{K}\) associado a duas operações: adição e multiplicação, que obedecem aos seguintes axiomas:

(A0) Fechamento por adição

A adição entre dois elementos \(a\) e \(b\) quaisquer de \(\mathbb{K}\) resulta em um único elemento de \(\mathbb{K}\), denotado por \(a + b\) e chamado de soma de \(a\) e \(b\)

Nota

O nome adição é apenas isso: um nome. No caso dos conjuntos numéricos como os reais e os racionais, a adição usual é a operação aqui, mas a “adição” pode ser qualquer operação que satisfaça essas condições (veremos um exemplo em breve!)

(A1) Comutatividade da adição

\(a + b = b + a\)

(A2) Associatividade da adição

\(a + (b + c) = (a + b) + c\)

(A3) Existência da identidade da adição

Existe um elemento em \(\mathbb{K}\), denotado por \(0\) e chamado de nulo ou elemento neutro da adição tal que \(a + 0 = a\) para todo \(a \in \mathbb{K}\).

(A4) Existência do oposto

Para cada elemento \(a \in \mathbb{K}\) existe um elemento, chamado oposto de \(a\) e denotado por \((-a)\), tal que \(a + (-a) = 0\).

Nota

O fato de o oposto ser único para cada elemento permite que se defina a operação de subtração: \(a - b = a + (-b)\).

Aviso

O símbolo de “menos” em \((-a)\) significa literalmente o oposto de \(a\). A ideia que \(-a = -1 a\) é consequência deste axioma e do anterior.

(M0) Fechamento por multiplicação

A multiplicação entre dois elementos \(a\) e \(b\) quaisquer de \(\mathbb{K}\) resulta em um emph{único} elemento de \(\mathbb{K}\), denotado por \(a \cdot b\) ou \(a b\) e chamado de produto de \(a\) e \(b\)

Nota

O nome multiplicação é apenas isso: um nome. No caso dos conjuntos numéricos como os reais e os racionais, a multiplicação usual é a operação aqui, mas a “multiplicação” pode ser qualquer operação que satisfaça essas condições (veremos um exemplo em breve!)

(M1) Comutatividade da multiplicação

\(a b = b a\)

(M2) Associatividade da multiplicação

\(a (bc) = (a b) c\)

(M3) Existência da identidade da multiplicação

Existe um elemento em \(\mathbb{K}\), diferente de \(0\), denotado por \(1\) e chamado de unidade ou elemento neutro da multiplicação tal que \(1 \cdot a = a\) para todo \(a \in \mathbb{K}\).

(M4) Existência do recíproco

Para cada elemento \(a \in \mathbb{K}\), \(a \neq 0\), existe um elemento, chamado recíproco de \(a\) e denotado por \(a^{-1}\) ou \(\frac{1}{a}\), tal que \(a \cdot a^{-1} = 1\).

Nota

O fato de o recíproco ser único para cada elemento permite que se defina a operação de divisão: \(\dfrac{a}{b} = a b^{-1}\).

(M5) Distributividade

\(a(b + c) = a b + a c\)

2.3.2. Teste dos axiomas

Para demonstrar que um conjunto, dotado de duas operações, é um corpo, é necessário testar cada um dos 11 axiomas acima, efetuando as operações e verificando se há casos em que algum axioma não seja cumprido. Se não houver esses casos, trata-se de um corpo.

2.3.3. Exemplos de corpos

  • Números racionais: \(\mathbb{Q}\)

  • Números reais: \(\mathbb{R}\)

  • Números complexos: \(\mathbb{C}\)

  • Lógica booleana (Verdadeiro e Falso). Este é um caso em que as operações de “adição” e “multiplicação” não são as usuais, até porque os elementos do conjunto não são números!

    Adição

    Operação OU exclusivo (XOR):

    • \(V + V = F\)

    • \(V + F = V\)

    • \(F + V = V\)

    • \(F + F = F\)

    Multiplicação

    Operação E (AND):

    • \(V \times V = V\)

    • \(V \times F = F\)

    • \(F \times V = F\)

    • \(F \times F = F\)

2.4. Lista de Exercícios

2.5. Material suplementar

2.5.1. Material complementar