2. Conjuntos numéricos: Números reais¶
2.1. Referências¶
Stewart 1.1
Boulos 1.1-1.2
Demana Capítulo 1
Medeiros 1.1—1.3; 1.8; 2.1
2.2. Programa¶
Conjuntos numéricos
Ordem na reta
Representação dos números reais
Notação científica
Notação de intervalos
2.3. Axiomas de corpo¶
2.3.1. Definição¶
Um corpo é um conjunto \(\mathbb{K}\) associado a duas operações: adição e multiplicação, que obedecem aos seguintes axiomas:
- (A0) Fechamento por adição
A adição entre dois elementos \(a\) e \(b\) quaisquer de \(\mathbb{K}\) resulta em um único elemento de \(\mathbb{K}\), denotado por \(a + b\) e chamado de soma de \(a\) e \(b\)
Nota
O nome adição é apenas isso: um nome. No caso dos conjuntos numéricos como os reais e os racionais, a adição usual é a operação aqui, mas a “adição” pode ser qualquer operação que satisfaça essas condições (veremos um exemplo em breve!)
- (A1) Comutatividade da adição
\(a + b = b + a\)
- (A2) Associatividade da adição
\(a + (b + c) = (a + b) + c\)
- (A3) Existência da identidade da adição
Existe um elemento em \(\mathbb{K}\), denotado por \(0\) e chamado de nulo ou elemento neutro da adição tal que \(a + 0 = a\) para todo \(a \in \mathbb{K}\).
- (A4) Existência do oposto
Para cada elemento \(a \in \mathbb{K}\) existe um elemento, chamado oposto de \(a\) e denotado por \((-a)\), tal que \(a + (-a) = 0\).
Nota
O fato de o oposto ser único para cada elemento permite que se defina a operação de subtração: \(a - b = a + (-b)\).
Aviso
O símbolo de “menos” em \((-a)\) significa literalmente o oposto de \(a\). A ideia que \(-a = -1 a\) é consequência deste axioma e do anterior.
- (M0) Fechamento por multiplicação
A multiplicação entre dois elementos \(a\) e \(b\) quaisquer de \(\mathbb{K}\) resulta em um emph{único} elemento de \(\mathbb{K}\), denotado por \(a \cdot b\) ou \(a b\) e chamado de produto de \(a\) e \(b\)
Nota
O nome multiplicação é apenas isso: um nome. No caso dos conjuntos numéricos como os reais e os racionais, a multiplicação usual é a operação aqui, mas a “multiplicação” pode ser qualquer operação que satisfaça essas condições (veremos um exemplo em breve!)
- (M1) Comutatividade da multiplicação
\(a b = b a\)
- (M2) Associatividade da multiplicação
\(a (bc) = (a b) c\)
- (M3) Existência da identidade da multiplicação
Existe um elemento em \(\mathbb{K}\), diferente de \(0\), denotado por \(1\) e chamado de unidade ou elemento neutro da multiplicação tal que \(1 \cdot a = a\) para todo \(a \in \mathbb{K}\).
- (M4) Existência do recíproco
Para cada elemento \(a \in \mathbb{K}\), \(a \neq 0\), existe um elemento, chamado recíproco de \(a\) e denotado por \(a^{-1}\) ou \(\frac{1}{a}\), tal que \(a \cdot a^{-1} = 1\).
Nota
O fato de o recíproco ser único para cada elemento permite que se defina a operação de divisão: \(\dfrac{a}{b} = a b^{-1}\).
- (M5) Distributividade
\(a(b + c) = a b + a c\)
2.3.2. Teste dos axiomas¶
Para demonstrar que um conjunto, dotado de duas operações, é um corpo, é necessário testar cada um dos 11 axiomas acima, efetuando as operações e verificando se há casos em que algum axioma não seja cumprido. Se não houver esses casos, trata-se de um corpo.
2.3.3. Exemplos de corpos¶
Números racionais: \(\mathbb{Q}\)
Números reais: \(\mathbb{R}\)
Números complexos: \(\mathbb{C}\)
Lógica booleana (Verdadeiro e Falso). Este é um caso em que as operações de “adição” e “multiplicação” não são as usuais, até porque os elementos do conjunto não são números!
- Adição
Operação OU exclusivo (XOR):
\(V + V = F\)
\(V + F = V\)
\(F + V = V\)
\(F + F = F\)
- Multiplicação
Operação E (AND):
\(V \times V = V\)
\(V \times F = F\)
\(F \times V = F\)
\(F \times F = F\)