2. Conjuntos numéricos: Números reais
2.1. Referências
Stewart 1.1
Boulos 1.1-1.2
Demana Capítulo 1
Medeiros 1.1—1.3; 1.8; 2.1
2.2. Programa
Conjuntos numéricos
Ordem na reta
Representação dos números reais
Notação científica
Notação de intervalos
2.3. Axiomas de corpo
2.3.1. Definição
Um corpo é um conjunto \(\mathbb{K}\) associado a duas operações: adição e multiplicação, que obedecem aos seguintes axiomas:
- (A0) Fechamento por adição
A adição entre dois elementos \(\alpha\) e \(\beta\) quaisquer de \(\mathbb{K}\) resulta em um único elemento de \(\mathbb{K}\), denotado por \(\alpha + \beta\) e chamado de soma de \(\alpha\) e \(\beta\)
Nota
O nome adição é apenas isso: um nome. No caso dos conjuntos numéricos como os reais e os racionais, a adição usual é a operação aqui, mas a “adição” pode ser qualquer operação que satisfaça essas condições (veremos um exemplo em breve!)
- (A1) Comutatividade da adição
\(\alpha + \beta = \beta + \alpha\)
- (A2) Associatividade da adição
\(\alpha + (\beta + \gamma) = (\alpha + \beta) + \gamma\)
- (A3) Existência da identidade da adição
Existe um elemento em \(\mathbb{K}\), denotado por \(0\) e chamado de nulo ou elemento neutro da adição tal que \(\alpha + 0 = \alpha\) para todo \(\alpha \in \mathbb{K}\).
- (A4) Existência do oposto
Para cada elemento \(\alpha \in \mathbb{K}\) existe um elemento, chamado oposto de \(\alpha\) e denotado por \((-\alpha)\), tal que \(\alpha + (-\alpha) = 0\).
Nota
O fato de o oposto ser único para cada elemento permite que se defina a operação de subtração: \(\alpha - \beta = \alpha + (-\beta)\).
Aviso
O símbolo de “menos” em \((-\alpha)\) significa literalmente o oposto de \(\alpha\). A ideia que \(-\alpha = -1 \alpha\) é consequência deste axioma e do anterior.
- (M0) Fechamento por multiplicação
A multiplicação entre dois elementos \(\alpha\) e \(\beta\) quaisquer de \(\mathbb{K}\) resulta em um emph{único} elemento de \(\mathbb{K}\), denotado por \(\alpha \cdot \beta\) ou \(\alpha \beta\) e chamado de produto de \(\alpha\) e \(\beta\)
Nota
O nome multiplicação é apenas isso: um nome. No caso dos conjuntos numéricos como os reais e os racionais, a multiplicação usual é a operação aqui, mas a “multiplicação” pode ser qualquer operação que satisfaça essas condições (veremos um exemplo em breve!)
- (M1) Comutatividade da multiplicação
\(\alpha \beta = \beta \alpha\)
- (M2) Associatividade da multiplicação
\(\alpha (\beta\gamma) = (\alpha \beta) \gamma\)
- (M3) Existência da identidade da multiplicação
Existe um elemento em \(\mathbb{K}\), diferente de \(0\), denotado por \(1\) e chamado de unidade ou elemento neutro da multiplicação tal que \(1 \cdot \alpha = \alpha\) para todo \(\alpha \in \mathbb{K}\).
- (M4) Existência do recíproco
Para cada elemento \(\alpha \in \mathbb{K}\), \(\alpha \neq 0\), existe um elemento, chamado recíproco de \(\alpha\) e denotado por \(\alpha^{-1}\) ou \(\frac{1}{\alpha}\), tal que \(\alpha \cdot \alpha^{-1} = 1\).
Nota
O fato de o recíproco ser único para cada elemento permite que se defina a operação de divisão: \(\dfrac{\alpha}{\beta} = \alpha \beta^{-1}\).
- (M5) Distributividade
\(\alpha(\beta + \gamma) = \alpha \beta + \alpha \gamma\)
2.3.2. Teste dos axiomas
Para demonstrar que um conjunto, dotado de duas operações, é um corpo, é necessário testar cada um dos 11 axiomas acima, efetuando as operações e verificando se há casos em que algum axioma não seja cumprido. Se não houver esses casos, trata-se de um corpo.
2.3.3. Exemplos de corpos
Números racionais: \(\mathbb{Q}\)
Números reais: \(\mathbb{R}\)
Números complexos: \(\mathbb{C}\)
Lógica booleana (Verdadeiro e Falso). Este é um caso em que as operações de “adição” e “multiplicação” não são as usuais, até porque os elementos do conjunto não são números!
- Adição
Operação OU exclusivo (XOR):
\(V + V = F\)
\(V + F = V\)
\(F + V = V\)
\(F + F = F\)
- Multiplicação
Operação E (AND):
\(V \times V = V\)
\(V \times F = F\)
\(F \times V = F\)
\(F \times F = F\)