1. Conjuntos numéricos

1.1. Referências

  • Stewart 1.1

  • Boulos 1.1-1.2

  • Demana Capítulo 1

  • Medeiros 1.1—1.3; 1.8; 2.1

1.2. Programa

  • Conjuntos numéricos: - Números Naturais - Números Inteiros - Números Racionais - Números Irracionais - Números Reais

  • Ordem na reta

  • Conjuntos - União - Interseção

  • Condições necessária e suficiente

  • Notação de intervalos

1.3. Lista de Exercícios

1.4. Material suplementar

1.4.1. Prova de que \(\sqrt{2}\) é irracional:

Vamos demostrar por contradição: suponha que \(\sqrt{2}\) seja racional, ou seja, pode ser escrita como a razão de dois inteiros \(p\) e \(q\):

\[\sqrt{2} = \frac{p}{q}\]

Podemos dizer que \(p\) e \(q\) não têm fatores em comum (se tivesse, poderíamos cancelar os fatores no numerador e no denominador). Ou seja, \(p\) e \(q\) não são ambos pares.

Elevando a expressão ao quadrado, ficamos com

\[2 = \frac{p^2}{q^2}\]

ou seja,

\[p^2 = 2q^2\]

Então \(p^2\) é par. Isso significa que \(p\) é um número par, já que se \(p\) fosse ímpar, teríamos \(p = 2k+1\) e

\[p^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1\]

que é ímpar.

Bem, se \(p\) é par, então \(p^2\) é divisível por 4, e com isso \(q^2 = \frac{p^2}{2}\) é um número par. Pelo mesmo argumento, se \(q^2\) é par, então \(q\) tem que ser par.

Ou seja, \(p\) e \(q\) são os dois divisíveis por 2, o que contradiz nossa hipótese. Por tanto \(\sqrt{2}\) é irracional.

Fonte: Courant II.2

1.4.2. Material complementar