2. Subespaços vetoriais

  • Aula: quarta, 6 de abril de 2022

2.1. Referências

  • Calliolli 2.4 – 2.5

  • Boldrini 4.3

  • Lay 4.1

2.2. Subespaços

2.2.1. Definição

Seja \(V\) um espaço vetorial sobre o corpo \(\mathbb{K}\). Um subconjunto \(S\) de \(V\) (\(S \subset V\)) é subespaço vetorial de \(V\) se e somente se \(S\) for, por si só, espaço vetorial sobre \(\mathbb{K}\) com as mesmas operações de adição e multiplicação por escalar definidas para \(V\).

Ou seja, os vetores de \(S\) devem satisfazer aos 10 axiomas de espaço vetorial.

Teorema

Seja \(S \in V\) subconjunto do espaço vetorial \(V\). \(S\) é subespaço vetorial de \(V\) se e somente se satisfaz os axiomas de fechamento, ou seja:

  1. A soma \(\vec{u} + \vec{v}\) de vetores quaisquer \(\vec{u},\vec{v} \in S\) é um elemento de \(S\)

  2. O produto de um vetor \(\vec{u} \in S\) por um escalar \(\alpha \in \mathbb{K}\) é um elemento de \(S\)

Ou seja, dado um espaço vetorial \(V\) e um subconjunto \(S\), basta testar se o conjunto é fechado por adição e multiplicação por escalares. Se for, os outros 8 axiomas serão automaticamente cumpridos (vide demonstração na videoaula).

2.2.2. Videoaula

2.2.3. Exemplos

2.3. Intersecção e Soma de Subespaços

2.3.1. Intersecção

Considere \(U\) e \(W\), subespaços de um espaço vetorial \(V\). A intersecção \(U \cap W\) também será subespaço vetorial de \(V\). Para demonstrar isso, devemos demonstrar os axiomas de fechamento para os vetores da intersecção.

Nota

Se \(U\) e \(W\) são subespaços de \(V\), então a intersecção conterá pelo menos o vetor nulo.

Por quê?

2.3.2. Soma de subespaços

Sejam \(U\) e \(W\) subespaços de um espaço vetorial \(V\). Definimos a soma \(U + W\) como o conjunto \(U + W = \left\{ \vec{u} + \vec{w} \middle\vert \vec{u} \in U \text{ e } \vec{w} \in W\right\}\). Ou seja, os vetores da soma \(U + W\) são a soma de um vetor de \(U\) com um vetor de \(W\).

Esse conjunto também será subespaço de \(V\).

2.4. Exercícios

  1. Mostre que o plano \(xy\) do \(\mathbb{R}^3\), ou seja, os vetores \((x, y, 0)\), são um subespaço vetorial de \(\mathbb{R}^3\).

    • Verifique que esse conjunto obedece a todos os 10 axiomas de espaço vetorial

  2. Mostre que o círculo unitário em \(\mathbb{R}^2\), ou seja os vetores \((x, y)\) tais que \(\sqrt{x^2 + y^2} \leqslant 1\), não é um subespaço de \(\mathbb{R}^2\).

    • Verifique que esse conjunto não satisfaz aos axiomas ide fechamento (pode fazer encontrando contraexemplos), mas que ele satisfaz todos os 8 seguintes.

2.5. Lista de exercícios

2.6. Material suplementar

2.6.1. Videoaulas

Engenharia UNIVESP — Aula 12 - Espaços Vetoriais Reais e Subespaços

A partir de 13min40s:

IMPA — Programa de Iniciação Científica: Introdução à Álgebra Linear — Aula 01

A partir de 1h06min: